Моделирование броуновского движения
Содержание:
- 1. Описание физической модели
- 2. Формальная модель
- 3. Компьютерное моделирование. Проект VB “Броуновское движение”
- 4. Компьютерный эксперимент
1. Описание физической модели
1.1 Открытие броуновского движения
Явление открыто Робертом Броуном в 1827 г., когда он проводил исследования пыльцы растений, взвешенных в воде, под микроскопом.
Он установил, что мельчайшие твердые крупинки, которые едва можно было разглядеть в капле воды,
непрерывно перемещаются, причем направление движения изменяется случайным образом.
Явление никогда не прекращалось: его можно было наблюдать сколь угодно долго.
Наблюдение Броуна подтвердили другие ученые.
Причина явления долго оставалась непонятной, пока не было доказано, что движение частиц вызвано толчками окружающих
молекул жидкости или газа [1].
1.2 Определение
Броуновское движение — тепловое движение микроскопических взвешенных частиц,
(броуновские частицы) твёрдого вещества (пылинки, крупинки взвеси, частички пыльцы растения и так далее),
находящихся в жидкой или газообразной среде.
1.3 Из теории броуновского движения Смолуховского - Эйнштейна,
опытов Ж. Перрена[2] известно, что среднее значение квадрата смещения броуновской частицы (s²)
за время t прямо пропорционально температуре Т и обратно пропорционально вязкости жидкости h,
размеру частицы r и постоянной Авогадро, где R — газовая постоянная.
1.4 Броуновское движение и диффузия
Перемещение броуновских частиц внешне весьма напоминает перемещение отдельных молекул в результате их теплового движения.
Такое перемещение называется диффузией.
1.5 Перемещение и полный путь частицы
Теория Эйнштейна - Смолуховского объясняет закономерности и диффузии, и броуновского движения.
Молекулы при столкновении с другими молекулами непрерывно изменяют направление своего движения.
В результате такого хаотичного движения молекула смещается на расстояние s, значительно меньшее,
чем L (полный путь частицы). Эти величины связаны соотношением s =√(LЛ) , где Л (средняя длина свободного пробега) –
расстояние, которое молекула пролетает от одного столкновения до другого.
Измерения показали, что для молекул воздуха при нормальном атмосферном давлении Л ~ 0,1 мкм,
значит, при скорости 500 м/с молекула азота или кислорода пролетит за 100 000 секунд (27 часов)
расстояние L = 50000 км, а сместится от первоначального положения всего лишь на s = 2,24м.
2. Формальная модель
Для формализации модели используем простейшую модель движения частиц, предполагая:
- Частицы хаотично двигаются со средней заданной скоростью V
- Частицы имеют средний заданный радиус R
Уравнения движения частиц выглядят следующим образом:
- V(t+∆t)=Rnd(0,1)V/√MR
- x(t+∆t)=x(t)+V(t+∆t)cos(2πRnd(0,1) )
- y(t+∆t)=y(t)+V(t+∆t)sin(2πRnd(0,1))
Входные параметры модели:
R – средний радиус частиц;
V – средняя тепловая скорость частиц;
M – масса частицы.
3. Проект “Броуновское движение”
Литература
1. Г.С. Ландсберг Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.
2. Онлайн Энциклопедия «Кругосвет». Сайт:
Броуновское движение